Question

【題目】函數f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m（0＜m≤1）．
（1）若x∈[0，m]，證明：f（x）≤ ；
（2）求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵0＜m≤1，∴f（x）的對稱軸x= ∈[ ， ），

①0＜m≤ 時，函數f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m開口向下，在[0，m）函數是增函數，

∴f（x）≤f（m）=﹣m2+（3﹣2m）m+2+m=﹣3m2+4m+2=﹣3 ；

②當 時，f（x）max=f（ ）= = ＜ ．

綜上，f（x）≤ ；

（2）解：函數f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m=﹣（x﹣ ）2+ ，

若0 ，則0＜2m≤1，f（x）的對稱軸x= ∈[1， ），

則f（x）在[﹣1，1]上為增函數，

∵f（1）=4﹣m∈[ ），|f（﹣1）|=|3m﹣2|∈[ ，2）．

∴|f（1）|＞|f（﹣1）|，

∴|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）=f（1）=4﹣m；

若 ＜m≤1，則1＜2m≤2，f（x）的對稱軸x= ∈（ ，1]，

則f（x）在[﹣1，1]上先增后減，且最小值為f（﹣1）=3m﹣2，最大值為f（ ）=m2﹣2m+ ．

∵|f（﹣1）|=|3m﹣2|∈[0，1]，f（ ）=m2﹣2m+ = ．

∴|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）=f（ ）=m2﹣2m+ ．

綜上，g（m）=

【解析】（1）求出二次函數的對稱軸方程，由m的范圍分類可得二次函數在[0，m]上的單調性，得到二次函數的最大值，由配方法證明f（x）≤ ；（2）分0 和 ＜m≤1兩種情況求出函數f（x）在[﹣1，1]上的最值，再由最值的絕對值的大小求得|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．