Question

甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個球，乙袋中共有2m個球，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為

2

5

，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P₂．
（1）若m=10，求甲袋中紅球的個數；
（2）若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個紅球的概率是

1

3

，求P₂的值；
（3）設P₂=

1

5

，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設ξ表示摸出紅球的總次數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據題意設甲袋中紅球的個數為x，從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為

2

5

，根據等可能事件的概率求法做出紅球的個數．
（2）從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為

2

5

，甲袋中紅球的個數

2

5

m，從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P₂．乙袋中有紅球2mp₂，相加得到紅球總數，根據概率列出方程，得到結果．
（3）由題意知ξ表示摸出紅球的總次數，它的取值是0、1、2、3，在兩個袋子中摸球相互之間沒有影響，所以是相互獨立事件同時發生，做出概率，列出分布列，算出期望．

解答：解：（Ⅰ）設甲袋中紅球的個數為x，
∵從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為

2

5

，
∴依題意得x=10×

2

5

=4．

（Ⅱ）∵從甲袋中摸出1個球為紅球的概率為

2

5

，
∴甲袋中紅球的個數

2

5

m，
∵從乙袋中摸出1個球為紅球的概率為P₂．
∴乙袋中有紅球2mp₂
由已知得：

2 5 m+2mP2

3m

=

1

3

，
解得P₂=

3

10

．

（Ⅲ）由題意知ξ表示摸出紅球的總次數，它的取值是0、1、2、3，
在兩個袋子中摸球相互之間沒有影響，所以是相互獨立事件同時發生，
∴P(ξ=0)=

3

5

×

4

5

×

4

5

=

48

125

，
P(ξ=1)=

2

5

×

4

5

×

4

5

+

3

5

×

C

1 2

×

1

5

×

4

5

=

56

125

，
P(ξ=2)=

2

5

×

C

1 2

×

1

5

×

4

5

+

3

5

×(

1

5

)2=

19

125

，
P(ξ=3)=

2

5

×(

1

5

)2=

2

125

．
∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×

48

125

+1×

56

125

+2×

19

125

+3×

2

125

=

4

5

．

點評：本題考查概率和期望以及它們的實際應用，期望是概率論和數理統計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數，學習期望將為今后學習概率統計知識做鋪墊．