Question

【題目】在四棱錐中，底面是直角梯形， ，且 ，側面底面是等邊三角形.

（1）求證： ；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先取AB 中點為O，連接PO，CO，根據條件得到PO⊥AB，再結合側面PAB⊥底面ABCD，得到PO⊥底面ABCD，即可得到OC為PC在底面ABCD上的射影；最后結合△DAB≌△OBC得BD⊥OC即可得到結論;
（2）先取PC中點E，連接BE，DE，可以證得∠BED就是二面角B-PC-D的平面角；在通過求三角形BED的三邊長，即可得到結論．

試題解析：

取AB 中點為O，連接PO，CO，

∵△PAB 是等邊三角形，
∴PO⊥AB，
又∵側面PAB⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴OC為PC在底面ABCD上的射影，
又∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=∠DAB=∴△DAB≌△OBC，∴∠BCO=∠DBA，
∴BD⊥OC，∴BD⊥PC．
（2）取PC中點E，連接BE，DE，
∵PB=BC，
∴BE⊥PC，
又∵BD⊥PC，BE∩BD=B，
∴PC⊥平面BDE
，∴PC⊥DE，
∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=∴BE=PC= ，PD=BD= ∴DE=

∴BE2+DE2=BD2，
∴∠BED= 即二面角B-PC-D的大小為.