Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）．

（1）若橢圓的離心率為 ，且點(diǎn)（1， ）在橢圓上，
①求橢圓的方程；
②設(shè)P（﹣1，﹣ ），R、S分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線PR和PS與y軸和x軸相交于點(diǎn)M，N，求直線MN的方程．
（2）設(shè)D（b，0），過(guò)D點(diǎn)的直線l與橢圓C交于E、F兩點(diǎn)，且E、F均在y軸的右側(cè)， =2 ，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵橢圓C： =1（a＞b＞0），橢圓的離心率為 ，且點(diǎn)（1， ）在橢圓上，

∴ ，解得a=2，b=1，

∴橢圓的方程為 =1．

②P（﹣1，﹣ ），R、S分別為橢圓C： =1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線PR和PS與y軸和x軸相交于點(diǎn)M，N，

∴R（2，0），S（0，1），

∴直線PR： ，即 x﹣6y﹣2 =0，∴M（0，﹣ ），

直線PS： ，即（ ）x﹣2y+2=0，∴N（2 ﹣4，0），

∴直線MN的方程為： ，即y=﹣ ．

（2）設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），∵ ，∴ ．

根據(jù)題意 ，解得 ，

連SD，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)Q．

直線SD的方程為x+y﹣b=0，代入橢圓方程解得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo) ，

所以， ，即a4﹣4a2b2+3b4＜0，

解得b2＜a2＜3b2，即a2＜3（a2﹣c2），

∴ ＜ ， ．

∴橢圓離心率e的取值范圍為（0， ）．

【解析】（1）①由題意可得含有a，b，c的方程組，解方程組可得a，b的值，從而可得橢圓的方程；②先求出點(diǎn)R，S的坐標(biāo)，再求出直線PR，直線PS的方程，進(jìn)而可得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，從而可得直線MN的方程．（2）先設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組可解得x1，再連結(jié)SD，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)Q，求出直線SD的方程，代入橢圓方程可解得xQ，進(jìn)而可得含有a，c的不等式，從而可得橢圓離心率的取值范圍．