Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=a（a＞0），Q為l上一點(diǎn)，以O(shè)Q為邊作等邊三角形OPQ，且O、P、Q三點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?/span>
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)Q在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C：x2+y2=a2 ， 經(jīng)過(guò)伸縮變換 得到曲線C′，試判斷點(diǎn)P的軌跡與曲線C′是否有交點(diǎn)，如果有，請(qǐng)求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，沒有則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （ρ，θ），則由題意可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ，

再由點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)等于a，a＞0，可得 ，

可得 ，

故當(dāng)點(diǎn)Q在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)方程為 ．

（Ⅱ）曲線C：x2+y2=a2，

伸縮變換即： ，代入整理可得： ，

聯(lián)立點(diǎn)P的軌跡方程，消去x得 ，

∵a＞0，∴△＞0，有交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ．

【解析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由題意得出Q的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出極坐標(biāo)方程，再把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）得出曲線C的方程經(jīng)伸縮變換后的方程，聯(lián)立P的軌跡方程，得出交點(diǎn)坐標(biāo).