Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=2an﹣2（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{bn}滿足 = ﹣ ﹣…+（﹣1）n+1 ，求數列{bn}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設cn=2n+λbn ， 問是否存在實數λ使得數列{cn}（n∈N*）是單調遞增數列？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；

n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化為：an=2an﹣1．

∴數列{an}是等比數列，公比為2，首項為2．∴an=2n．

（2）解：∵ = = ﹣ ﹣…+（﹣1）n+1 ，

∴ = ﹣ ﹣…+ ，

∴ =（﹣1）n+1 ，∴bn=（﹣1）n ．

當n=1時， = ，解得b1= ．∴bn= ．

（3）解：cn=2n+λbn，

∴n≥3時，cn=2n+λ ，cn﹣1=2n﹣1+（﹣1）n﹣1λ ，

cn﹣cn﹣1=2n﹣1+ ＞0，即（﹣1）nλ＞﹣ ．

① 當n為大于或等于4的偶數時，λ＞﹣ ，即λ＞﹣ ，當且僅當n=4時，λ＞﹣ ．

②當n為大于或等于3的奇數時，λ＜ ，當且僅當n=3時，λ＜ ．

當n=2時，c2﹣c1= ﹣ ＞0，即λ＜8．

綜上可得：λ的取值范圍是 ．

【解析】（1）由Sn=2an﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 化為：an=2an﹣1 ． 即可得出．（2） = = ﹣ ﹣…+（﹣1）n+1 ，n≥2時， = ﹣ ﹣…+ ，相減可得：bn=（﹣1）n ．當n=1時， = ，解得b1= ．（3）cn=2n+λbn ， n≥3時，cn=2n+λ ，cn﹣cn﹣1=2n﹣1+ ＞0，即（﹣1）nλ＞﹣ ．①當n為大于或等于4的偶數時，λ＞﹣ ．②當n為大于或等于3的奇數時，λ＜ ．當n=2時，c2﹣c1＞0，即λ＜8．即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．