Question

【題目】已知圓O：x2+y2=4與x軸負半軸的交點為A，點P在直線l： x+y﹣a=0上，過點P作圓O的切線，切點為T．
（1）若a=8，切點T（ ，﹣1），求直線AP的方程；
（2）若PA=2PT，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，直線PT切于點T，則OT⊥PT，

又切點T（ ，﹣1），∴kOT=﹣ ，kPT=﹣ = ，

∴直線PT的方程為y+1= （x﹣ ），即 ，

聯立直線l和PT， ，解得x=2 ，y=2，即P（2 ，2），

∴直線AP的斜率為k= = ，

∴直線AP的方程為y= ，即（ ）x﹣2y+2 ﹣2=0

（2）解：設P（x，y），由PA=2PT，得（x+2）2+y2=4（x2+y2﹣4），即3x2+3y2+4x﹣20=0，

即滿足PA=2PT的點P的軌跡是一個圓（x﹣ ）2+y2= ．

∴問題可轉化為直線 與圓（x﹣ ）2+y2= 有公共點，

∴d= ≤ ，即| | ，

解得 ．

∴實數a的取值范圍是[ ， ]

【解析】（1）由題意，直線PT切于點T，則OT⊥PT，求出直線PT的方程，聯立直線l和PT，得P（2 ，2），由此能求出直線AP的方程．（2）設P（x，y），由PA=2PT，得滿足PA=2PT的點P的軌跡是一個圓（x﹣ ）2+y2= ．問題可轉化為直線 與圓（x﹣ ）2+y2= 有公共點，由此能求出實數a的取值范圍．