Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．
(1) 求出，并猜測的表達式；
(2) 求證：＋＋＋…＋．

Answer 1

(1) f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝25＋4×4＝41. f(n)＝2n²－2n＋1.
(2)略

本試題主要是考查了數列的歸納猜想思想的運用，根據前幾項。來猜想并運用數學歸納法加以證明。
（1）結合題目中的 遞推關系式可知前幾項的值，并猜想結論。
（2）分為兩步驟進行，先證明n取第一個值時成立，再假設n=k時成立，證明n=k+1時也成立即可。
解析：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式規律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…
f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n²－2n＋1(n≥2)，又n＝1時，f(1)也適合f(n)．∴f(n)＝2n²－2n＋1.
(3)當n≥2時，＝＝，
∴＋＋＋…＋＝1＋
＝1＋＝－.