Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面圓周上，點F在DE上，且AF⊥DE，若圓柱的底面積與△ABE的面積之比等于π。
（Ⅰ）求證：AF⊥BD；
（Ⅱ）求直線DE與平面ABCD所成角的正切值。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）

（Ⅰ）因為AD⊥平面ABE，所以AD⊥BE。
又AE⊥BE，AD∩AE＝A，所以BE⊥平面ADE。                                （3分）
因為AF平面ADE，所以BE⊥AF。
又AF⊥DE，所以AF⊥平面BDE，故AF⊥BD。                                （6分）
（Ⅱ）過點E作EO⊥AB，垂足為O。

因為平面ABE⊥平面ABCD，所以EO⊥面ABCD。
連結OD，則∠ODE為直線DE與平面ABCD所成的角。                          （8分）
設圓柱的底半徑為r，則其底面積為，
△ABE的面積為。
由已知，，則OE＝r，所以點O為圓柱底面圓的圓心。                 （10分）
在Rt△OAD中，，在Rt△DOE中 。
故直線DE與平面ABCD所成角的正切值為。                                （12分）