Question

【題目】已知函數是關于的偶函數.

(1)求的值；

(2)求證: 對任意實數，函數的圖象與函數的圖象最多只有一個交點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）通過函數是關于的偶函數，可得恒成立，可得

恒成立，從而可求的值；(2) 由, 得, 所以 ，令，利用單調性的定義可證明在上單調遞減，從而可得結論.

(1)因為f(x)是關于x的偶函數,

所以log2(2 - x + 1) + k( - x) = log2(2x + 1) + kx, 即2kx = log2= - x, 解得k = -.

(2) 由, 得log2(2x + 1) -x =x + m,

所以 m = log2(2x + 1) -x = log2(1 +). 令h(x) = log2(1 +),

設x1, x2 R, 且x1 < x2, 則>, 所以log2(1 +) > log2(1 +),

所以h(x1) – h(x2) = log2(1 +) - log2(1 +) > 0, 即 h(x1) > h(x2), ∴ h(x)在R上單調遞減.

因此, 函數y = h(x)的圖象與直線y = m的圖象最多只有一個交點. 所以, 對任意實數m, 函數y = f(x)的圖象與直線y =x + m的圖象最多只有一個交點.