Question

長為3的線段AB的兩個端點A，B分別在x，y軸上移動，點P在直線AB上且滿足，
（Ⅰ）求點P的軌跡的方程；
（Ⅱ）記點P軌跡為曲線C，過點Q（2，1）任作直線l交曲線C于M，N兩點，過M作斜率為的直線l′交曲線C于另一點R。求證：直線NR與直線OQ的交點為定點（O為坐標原點），并求出該定點。

Answer 1

解：（Ⅰ）設，
由，
又由，
即為點P的軌跡方程。
（Ⅱ）當l的斜率不存在時，直線l與曲線C相切，不合題意；
當l斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-2）+1，即y=kx+1-2k，
聯立方程，
設，
則，
則MR的方程為，
與曲線C的方程聯列得，
則，
所以，
直線NR的方程為，
令，

，


，
∴，
從而，
即直線NR與直線OQ交于定點。