Question

【題目】設 （，）．

（1）若展開式中第5項與第7項的系數之比為3∶8，求k的值；

（2）設（），且各項系數，，，…，互不相同．現把這個不同系數隨機排成一個三角形數陣：第1列1個數，第2列2個數，…，第n列n個數．設是第i列中的最小數，其中，且i，．記的概率為．求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用題目所給展開式中第項與第項的系數之比列方程，解方程求得的值.

（2）利用相互獨立事件概率乘法公式，求得的表達式，構造數列，判斷出數列的單調性，由此證得不等式成立

（1）因為在展開式中第5項與第7項的系數之比為3∶8，即，

所以，即，所以，

解得或．

因為，所以．

（2）由題意，最小數在第n列的概率為，

去掉第n列已經排好的n個數，

則余下的個數中最小值在第列的概率為，

…………

以此類推，

余下的數中最小數在第2列的概率為，

所以．

由于，所以．

設，

所以．

記，所以，

所以是遞增數列，所以；是遞增數列，所以，

所以，所以，即．