Question

在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C的對邊，已知向量

m

=(b，c-

2

a)，

n

=（cosC，cosB），且

m

⊥

n

．（1）求角B的大小；（2）求函數•f(x)=2sin2(B+x)-

3

cos2x(x∈R)的值域．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量垂直時滿足的條件數量積為0，變形后利用正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡，根據三角形的內角和定理及誘導公式化簡，當sinA不等于0時，得到cosB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由（1）求出的B代入f（x），利用二倍角的余弦函數公式、誘導公式及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）由

m

⊥

n

，得

m

•

n

=bcosC+(c- 

2

a)cosB=0，即bcosC+ccosB=

2

acosB，
由正弦定理得：sinBcosC+cosBsinC=

2

sinAcosB，即sin(B+C)=

2

sinAcosB，
∵sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，∴sinA=

2

sinAcosB，
由sinA≠O，得cosB=

2

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

4

；
（2）由（1），得f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x=1+2(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)=1+2sin(2x-

π

3

)，
∵x∈R，-1≤sin(2x-

π

3

)≤1，
∴-1≤f（x）≤3，
∴函數f（x）的值域為[-1，3]．

點評：此題考查學生靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及二倍角的余弦函數公式化簡求值，掌握平面向量垂直時滿足的條件，掌握正弦函數的值域，是一道中檔題．