Question

【題目】已知為上的偶函數，當時，.對于結論

（1）當時，；

（2）函數的零點個數可以為；

（3）若函數在區間上恒為正，則實數的范圍是

以上說法正確的序號是______________.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

由函數的奇偶性定義、函數零點個數的判斷方法以及函數與方程的轉化思想，不等式恒成立問題的解法，對選項逐一判斷即可得到結論．

對于（1），f（x）為R上的偶函數，當x＞0時，，

當x＜0時，，故（1）正確；

對于（2），令t＝f（x），則f（t）＝0，因為的值不確定，

若f（0）＝0，由f（t）＝0，可得t＝0或1或﹣1，

由，可得或；由f（x）＝1時，可得x＝﹣2或2；當f（x）＝﹣1時，可得x＝±，此時函數有7個零點；

若f（0）＝1，由f（t）＝0，可得t＝1或﹣1，

由f（x）＝1時，可得x＝﹣2或2或0；當f（x）＝﹣1時，可得x＝±，此時有函數有5個零點；

若f（0）＝－1時，由f（t）＝0，可得t＝1或﹣1，

由f（x）＝1時，可得x＝﹣2或2；當f（x）＝﹣1時，可得x＝±或0，此時有函數有5個零點；

若不等于以上各值，由f（t）＝0，可得t＝1或﹣1，由f（x）＝1時，

可得x＝﹣2或2；當f（x）＝﹣1時，可得x＝±，此時函數有4個零點；

綜上，函數的零點個數可為4，5，7，故（2）正確；

對于（3），若函數在區間[1，2]上恒為正，即為 在[1，2]恒成立，

可得在[1，2]恒成立，則當時，，解得或，所求的范圍應為的子集，故（3）錯．

故答案為：（1）（2）．