Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=4，BC= ，點E，F分別為AD，BC的中點．如果對于常數λ，在ABCD的四條邊上，有且只有8個不同的點P使得 =λ成立，那么實數λ的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（﹣ ，﹣ ）
【解析】解：以DC所在直線為x軸，DC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，
則梯形的高為 =2，∴A（﹣1，2），B（1，2），C（2，0），D（﹣2，0），∴E（﹣ ，1），F（ ，1）．
①當P在DC上時，設P（x，0）（﹣2≤x≤2），則 =（﹣ ﹣x，1） =（ ，1）．
于是 =（﹣ ﹣x）（ ﹣x）+1=x2﹣ =λ，
∴當λ=﹣ 時，方程有一解，當﹣ ＜λ≤ 時，λ有兩解；
②當P在AB上時，設P（x，2）（﹣1≤x≤1），則 =（﹣ ﹣x，﹣1） =（ ，﹣1）．
于是 =（﹣ ﹣x）（ ﹣x）+1=x2﹣ =λ，
∴當λ=﹣ 時，方程有一解，當﹣ ＜λ≤﹣ 時，λ有兩解；
③當P在AD上時，直線AD方程為y=2x+4，
設P（x，2x+4）（﹣2＜x＜﹣1），則 =（﹣ ﹣x，﹣2x﹣3） =（ ，﹣2x﹣3）．
于是 =（﹣ ﹣x）（ ﹣x）+（﹣2x﹣3）2=5x2+12x+ =λ．
∴當λ=﹣ 或﹣ ＜λ＜ 時，方程有一解，當﹣ ﹣ 時，方程有兩解；
④當P在BC上時，直線BC的方程為y=﹣2x+4，
設P（x，﹣2x+4）（1＜x＜2），則 =（﹣ ﹣x，2x﹣3） =（ ，2x﹣3）．
于是 =（﹣ ﹣x）（ ﹣x）+（2x﹣3）2=5x2﹣12x+ =λ．
∴當λ=﹣ 或﹣ ＜λ＜ 時，方程有一解，當﹣ ﹣ 時，方程有兩解；
綜上，若使梯形上有8個不同的點P滿足 =λ成立，
則λ的取值范圍是（﹣ ， ]∩（﹣ ，﹣ ]∩（﹣ ，﹣ ）∩（﹣ ，﹣ ）=（﹣ ，﹣ ）．
所以答案是：（﹣ ，﹣ ）．