Question

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}均為各項(xiàng)都不相等的數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，an+1bn=Sn+1（n∈N）．
（1）若a1=1，bn= ，求a4的值；
（2）若{an}是公比為q的等比數(shù)列，求證：存在實(shí)數(shù)λ，使得{bn+λ}為等比數(shù)列；
（3）若{an}的各項(xiàng)都不為零，{bn}是公差為d的等差數(shù)列，求證：a2 ， a3 ， …，an…成等差數(shù)列的充要條件是d= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1bn=Sn+1，a1=1，bn= ，

∴a2= = =4，

a3= = =6，

a4= = =8

（2）證明：設(shè)an=a1qn﹣1（q≠1），則Sn= ，

∵an+1bn=Sn+1，

∴bn= = ，

∵ = = 為常數(shù)，

∴﹣1+λ﹣λq=0，即λ= ，

故存在實(shí)數(shù)λ= ，使得{bn+λ}為等比數(shù)列

（3）證明：∵數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an+1bn﹣an（bn﹣d）=an，

即（an+1﹣an）bn=（1﹣d）an，

∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)都不為零，

∴an+1﹣an≠0，1﹣d≠0，

∴當(dāng)n≥2時(shí)， = ，

當(dāng)n≥3時(shí)， = ，

兩式相減得：當(dāng)n≥3時(shí)， ﹣ = = ．

先證充分性：

由d= 可知 ﹣ =1，

∴當(dāng)n≥3時(shí)， +1= ，

又∵an≠0，

∴an+1﹣an=an﹣an﹣1，

即a2，a3，…，an…成等差數(shù)列；

再證必要性：

∵a2，a3，…，an…成等差數(shù)列，

∴當(dāng)n≥3時(shí)，an+1﹣an=an﹣an﹣1，

∴ ﹣ = ﹣ =1= ，

∴d= ．

綜上所述，a2，a3，…，an…成等差數(shù)列的充要條件是d=

【解析】（1）直接代入計(jì)算即可；（2）通過(guò)設(shè)an=a1qn﹣1（q≠1），利用等比數(shù)列的求和公式及an+1bn=Sn+1，計(jì)算可知bn= ，進(jìn)而化簡(jiǎn)即得結(jié)論；（3）通過(guò)數(shù)列{bn}是公差為d的等差數(shù)列，對(duì)an+1bn﹣an（bn﹣d）=an變形可知 = （n≥2）、 = （n≥3），從而 ﹣ = （n≥3），然后分別證明充分性、必要性即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．