Question

已知拋物線y²=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l:y=k(x-1)+1對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

-2<k<0即為所求.

解法一：設(shè)拋物線上的點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)關(guān)于直線l對(duì)稱，則y₁²=x₁,y₂²=x₂.
兩式相減得(y₁+y₂)·(y₁-y₂)=x₁-x₂,即y₁+y₂=.
∵=k_AB=-,∴y₁+y₂=-k.∴=-.
∵AB中點(diǎn)在直線l上，∴可得=-,即弦的中點(diǎn)為(-,-).
∴由點(diǎn)斜式可得AB：y+=-(x-+)，即x=-ky--.
代入y²=x中得y²+ky++-=0.
由Δ=k²-4·(+-)>0,得-2<k<0即為所求.
解法二：設(shè)拋物線上的點(diǎn)A(y₁²,y₁)、B(y₂²,y₂)關(guān)于直線l對(duì)稱，則

∴y₁、y₂是方程t²+kt++-=0的兩個(gè)不同根.
∴Δ=k²-4(+-)>0,得-2<k<0即為所求.