Question

【題目】水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液，已知每投放（且）個單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度 (克/升）隨著時間 (天)變化的函數(shù)關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經驗，當水中營養(yǎng)液的濃度不低于4(克/升)時，它才能有效.

（1）若只投放一次2個單位的營養(yǎng)液，則有效時間最多可能達到幾天？

（2）若先投放2個單位的營養(yǎng)液，3天后再投放個單位的營養(yǎng)液，要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 3天；(2) .

【解析】試題分析：（1）由題意可知營養(yǎng)液有效則需滿足，由此得或，解不等式可得，故最多可達3天；（2）設， 分別為第一、二次投放營養(yǎng)液的濃度， 為水中的營養(yǎng)液的濃度，由題意得在上恒成立，可得在上恒成立，求得在上的最大值即可得到的最小值。

試題解析：

（1）營養(yǎng)液有效則需滿足，

則或，

即為或，

解得，

所以營養(yǎng)液有效時間最多可達3天；

（2）解法一:設第二次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為天，

則此時第一次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為天，且；

設為第一次投放營養(yǎng)液的濃度， 為第二次投放營養(yǎng)液的濃度， 為水中的營養(yǎng)液的濃度；

∴，

，

由題意得在上恒成立，

∴在上恒成立，

令，則，

又，

當且僅當，即時等號成立；

因為

所以的最小值為.

答:要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效， 的最小值為.

解法二:設兩次投放營養(yǎng)液后的持續(xù)時間為天，

則第一次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為天，

第二次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為天，且，

設為第一次投放營養(yǎng)液的濃度， 為第二次投放營養(yǎng)液的濃度， 為水中的營養(yǎng)液的濃度；

∴，

由題意得在上恒成立

∴在上恒成立

則

又，

當且僅當即時等號成立；

因，

所以的最小值為.

答:要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效， 的最小值為.