Question

若函數f（x）同時滿足下列兩個性質，則稱其為“規則函數”
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．
請解答以下問題：
（Ⅰ） 判斷函數f（x）=x²-2x，（x∈（0，+∞））是否為“規則函數”？并說明理由；
（Ⅱ）判斷函數g（x）=-x³是否為“規則函數”？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區間[a，b]；
（Ⅲ）若函數h(x)=

x-1

+t是“規則函數”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據“規則函數”的定義判斷即可；
（Ⅱ）易檢驗條件①，根據條件②列出方程組解出即可；
（Ⅲ）易驗證條件①，根據條件②列出方程組，轉化為方程根的分布問題解決．

解答：解：（I）f（x）=x²-2x=（x-1）²-1（x≥0）在（0，1）單調遞減，[1，+∞）單調遞增，
在（0，+∞）內不單調，∴f（x）不是“規則函數”；
（Ⅱ）g（x）=-x³在R上單調遞減，
假設g（x）是“規則函數”，即存在[a，b]滿足條件g(x)max=g(a)=-a3=

b

2

，g(x)min=g(b)=-b3=

a

2

，且a＜b，
可解得a=-

2

2

，b=

2

2

，
∴閉區間為[-

2

2

，

2

2

]；
（Ⅲ）∵h（x）是“規則函數”，h(x)=

x-1

+t（x≥1），即存在區間[a，b]滿足h（x）∈[

a

2

，

b

2

]（（b＞a≥1）），
又∵h（x）在[1，+∞）上單增，h(x)min=h(a)=

a-1

+t=

a

2

，h(x)max=h(b)=

b-1

+t=

b

2

，
∴方程

x-1

+t=

x

2

在[1，+∞）上有兩個相異實根，
令

x-1

=m(m≥0)，即有m²-2m-2t+1=0在[0，+∞）上有兩個相異實根，即（m-1）²=2t，m∈[0，+∞），
∴0＜2t≤1，解得0＜t≤

1

2

，
所以得t∈（0，

1

2

]．

點評：本題考查函數的單調性、值域問題，考查學生分析解決新問題的能力，考查函數與方程思想．