Question

若函數f（x）同時滿足以下兩個條件：①f（x）在其定義域上是單調函數；②在f（x）的定義域內存在區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]．則稱函數f（x）為“自強”函數．
（1）判斷函數f（x）=2^x-1是否為“自強”函數？若是，則求出a，b若不是，說明理由；
（2）若函數f（x）=

2x-1

+t是“自強”函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據 ①函數f（x）=2^x-1在R上為增函數； ②假設存在區間[a，b]，滿足

f(a)=2a-1=a f(b)=2b-1=b

，則 a、b 是方程 2^x=x+1 的兩個不同的實根，求得a和b的值，可得結論．
（2）根據 ①函數f（x）=

2x-1

+t 在[

1

2

，+∞）上為增函數，②設區間[a，b]，滿足

f(a)=  2a-1 +t=a f(b)= 2b-1 +t=b

，則 a、b 是方程

2x-1

+t=x 的兩個不同的根，令m=

2x-1

≥0，可得m²-2m+1-2t=0 有兩個不同的非負實根，再利用一元二次方程根與系數的關系求得t的范圍．

解答：解（1）∵①函數f（x）=2^x-1在R上為增函數； ②假設存在區間[a，b]，滿足

f(a)=2a-1=a f(b)=2b-1=b

，
∴a、b 是方程 2^x=x+1 的兩個不同的實根，a=0，b=1，
函數f（x）=2^x-1是“自強”函數，且 a=0，b=1．
（2）∵①函數f（x）=

2x-1

+t 在[

1

2

，+∞）上為增函數，
②設區間[a，b]，滿足

f(a)=  2a-1 +t=a f(b)= 2b-1 +t=b

，
∴a、b 是方程

2x-1

+t=x 的兩個不同的根，且b＞a≥

1

2

．
令m=

2x-1

≥0，∴m+t=

1

2

（m²+1），
∴m²-2m+1-2t=0 有兩個不同的非負實根，
∴

△ = 4-4(1-2t)＞0 m1+m2 = 2≥0 m1•m2=1-2t≥0

，解得 0＜t≤

1

2

．

點評：本題主要考查函數的定義域和值域，一元二次方程根與系數的關系，屬于中檔題．