Question

某漁業公司今年初用98萬元購進一艘漁船用于捕撈，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始包括維修費在內，每年所需費用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元.
(1)該船捕撈幾年開始盈利(即總收入減去成本及所有費用之差為正值)？
(2)該船捕撈若干年后，處理方案有兩種:
①當年平均盈利達到最大值時，以26萬元的價格賣出；
②當盈利總額達到最大值時，以8萬元的價格賣出.
問哪一種方案較為合算，請說明理由.

Answer 1

(1)設捕撈3年后，開始盈利.
(2)①經過7年捕撈后年平均利潤最大，共盈利12×7+26=110萬元.
②∵兩種方案獲利相等，但方案②的時間長，所以方案①合算.

(1)設捕撈n年后開始盈利，盈利為y元，則
y=50n－［12n+×4］－98
=－2n²+40n－98.
由y＞0，得n²－20n+49＜0.
∴10－＜n＜10+ (n∈N).
∴3≤n≤17.∴n=3,
即捕撈3年后，開始盈利.
(2)①平均盈利為=－2n－+40≤－2+40=12，
當且僅當2n=,即n=7時，年平均利潤最大.
∴經過7年捕撈后年平均利潤最大，共盈利12×7+26=110萬元.
②∵y=－2n²+40n－98=－2(n－10)²+102，
∴當n=10時，y的最大值為102,
即經過10年捕撈盈利額最大，共盈利102+8=110萬元.
故兩種方案獲利相等，但方案②的時間長，所以方案①合算.