Question

【題目】已知D為圓O：x2+y2=8上的動點，過點D向x軸作垂線DN，垂足為N，T在線段DN上且滿足 ．
（1）求動點T的軌跡方程；
（2）若M是直線l：x=﹣4上的任意一點，以OM為直徑的圓K與圓O相交于P，Q兩點，求證：直線PQ必過定點E，并求出點E的坐標；
（3）若（2）中直線PQ與動點T的軌跡交于G，H兩點，且 ，求此時弦PQ的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：設T（x，y），則|DN|= |TN|，

∵D為圓O：x2+y2=8上的動點，

∴x2+（ y）2=8，

∵|DN|≠0，∴y≠0，

∴動點T的軌跡方程為 =1

（2）解：設M（﹣4，m），則圓K方程為x（x+4）+y（y﹣m）=0

與圓O：x2+y2=8聯立消去x2，y2得PQ的方程為4x﹣my+8=0，

令y=0，可得x=﹣2，得直線PQ過定點E（﹣2，0）

（3）解：設G（x1，y1），H（x2，y2），則 ，①

∵ ，∴（x1+2，y1）=3（﹣2﹣x2，﹣y2），即：x1=﹣8﹣3x2，y1=﹣3y2，

代入①解得：x2=﹣ ，y2=± （舍去正值），∴kPQ=1，所以PQ：x﹣y+2=0，

從而圓心O（0，0）到直線PQ的距離d= ，

∴PQ=2 =2

【解析】（1）利用代入法，求動點T的軌跡方程；（2）設M（﹣4，m），則圓K方程為x（x+4）+y（y﹣m）=0與圓O：x2+y2=8聯立消去x2 ， y2得PQ的方程為4x﹣my+8=0，能夠證明直線PQ必過定點E，并求出點E的坐標；（3）設G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），則 ，①，知（x1+2，y1）=3（﹣2﹣x2 ， ﹣y2），結合向量求出PQ的方程，由此入手能夠求出弦PQ的長