Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，其漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切．過點P（-4，0）作斜率為

7

4

的直線l，交雙曲線左支于A，B兩點，交y軸于點C，且滿足|PA|•|PB|=|PC|²．
（Ⅰ）求雙曲線的標準方程；
（Ⅱ）設點M為雙曲線上一動點，點N為圓x2+(y-2)2=

1

4

上一動點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設雙曲線的漸近線方程為y=kx，根據題意可得：k=±

1

2

，所以設雙曲線方程為x²-4y²=m，再結合|PA|•|PB|=|PC|²可得4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0，進而聯立直線與雙曲線的方程即可解決問題，求出答案．
（Ⅱ）設點M（x，y），則x²-4y²=4，設圓心為D（0，2），即可表達出|MD|并且求出范圍，再利用圓的性質求出答案即可．

解答：解：（Ⅰ）設雙曲線的漸近線方程為y=kx，
因為漸近線與圓（x-5）²+y²=5相切，
所以

|5k|

k2+1

=

5

，即k=±

1

2

，
所以雙曲線的漸近線方程為y=±

1

2

x．（2分）
設雙曲線方程為x²-4y²=m，
將y=

7

4

(x+4)代入雙曲線方程，整理得3x²+56x+112+4m=0．（4分）
所以xA+xB=-

56

3

，xAxB=

112+4m

3

．（5分）
因為|PA|•|PB|=|PC|²，點P，A，B，C共線，且點P在線段AB上，
所以（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16．
所以4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．（7分）
于是4•(-

56

3

)+

112+4m

3

+32=0，
解得m=4． （8分）
故雙曲線方程是x²-4y²=4，即

x2

4

-y2=1．（9分）
（Ⅱ）設點M（x，y），則x²-4y²=4，設圓x2+(y-2)2=

1

4

的圓心為D，則點D（0，2）．
所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2=5y2-4y+8=5(y-

2

5

)2+

36

5

≥

36

5

．（11分）
所以|MD|≥

6 5

5

，從而|MN|=|MD|-

1

2

≥

12 5 -5

10

．
故|MN|的取值范圍是[

12 5 -5

10

，+∞)．（13分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握雙曲線的標準方程與性質，以及圓與直線的位置關系與圓的有關性質，此題是一道綜合性較強的題，對計算能力有較高的要求．