Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁，F₂在坐標軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(4，-

10

)．
（1）求雙曲線方程；
（2）設A點坐標為（0，2），求雙曲線上距點A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線的漸近線方程，假設雙曲線方程，代入點的坐標，即可得到雙曲線方程；
（2）表示出|PA|，利用二次函數的配方法，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意，設雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）------------------（2分）
將點(4，-

10

)代入雙曲線方程，得42-(-

10

)2=λ，即λ=6----------------------（5分）
所以，所求的雙曲線方程為x²-y²=6----------------------（7分）
（2）設雙曲線上任意一點P（x₁，y₁），則x12-y22=6
從而|PA|=

x 2 1 +(y1-2)2

=

6+ y 2 1 + y 2 1 -4y1+4

=

2 y 2 1 -4y1+10

=

2(y1-1)2+8

--------------（10分）
當y₁=1時，|PA|有最小值2

2

所以當P的坐標為(±

7

，1)時，|PA|有最小值2

2

．----------------------（14分）

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查兩點間的距離公式，解題的關鍵是待定系數法，屬于中檔題．