Question

【題目】已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率，短軸長(zhǎng)為2.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，若面積為，求直線的方程.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得，再由 橢圓的方程為；（Ⅱ）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨取面積為 ，不符合題意. ②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線， 由 得 ，再求點(diǎn)的直線的距離 點(diǎn)到直線的距離為面積為 ∴或 所求方程為或.

試題解析：

（Ⅰ）由題意得，∴，

∵，∴，

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨取，

∴面積為 ，不符合題意.

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，

由化簡(jiǎn)得，

設(shè)，

∴ ，

∵點(diǎn)的直線的距離，

又是線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)到直線的距離為，

∴面積為 ，

∴，∴，∴，∴或，

∴直線的方程為或.

【題型】解答題
【結(jié)束】
25

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若，且，證明： .

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)在處取得極大值，且；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間以及極值（2）為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，先構(gòu)造函數(shù)， ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，即得，最后根據(jù)單調(diào)性得，即證得結(jié)論

試題解析：（Ⅰ）由，

易得的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

函數(shù)在處取得極大值，且

（Ⅱ）由， ，不妨設(shè)，則必有，

構(gòu)造函數(shù)， ，

則 ，所以在上單調(diào)遞增， ，也即對(duì)恒成立.

由，則，

所以 ，

即，又因?yàn)?/span>， ，且在上單調(diào)遞減，

所以，即證.