Question

【題目】設函數，，，其中是的導函數．

（1）令，，，猜想的表達式，并給出證明；

（2）若恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據，，由，得到，，…，猜想，再用數學歸納法證明．

（2）由恒成立，得到恒成立，令，用導數法研究成立即可.

（1）因為，．

所以，，…，可猜想．

下面用數學歸納法證明．

①當時，，結論成立．

②假設當時結論成立，即．

則當時，，結論成立．

由①②可知，結論對成立．

（2）法1：已知恒成立，即恒成立．

設，

則，

當時，（當且僅當，時等號成立），

∴在上單調遞增．

又，∴在上恒成立，

∴當時，恒成立（當且僅當時等號成立）．

當時，對，有，

∴在上單調遞減，∴．

即當時，存在，使，

∴不恒成立．

綜上可知，的取值范圍是．

法2：已知恒成立，即恒成立．

當時，無論取什么值，都成立；

當時，，

令，，

∴，

令，∴，

故在上單調遞增，

∴，即，

∴在上單調遞增，

∵，

∴，即的取值范圍是．

法3：已知恒成立，

即恒成立．，

，

令，∵，∴，

所以函數的圖象不在函數的圖象的上方，其中，

∵，∴在上單調遞增，

又∵在上單調遞增，且，，

∴的圖象如圖所示，

的圖象恒過點，

∴由圖象可知．