Question

【題目】在四棱錐中，，.

(Ⅰ)若點為的中點，求證：∥平面；

(Ⅱ)當平面平面時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

(I)結合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結合平面與平面性質,證明結論.(II)建立空間坐標系,分別計算平面PCD和平面PDB的法向量,結合向量數量積公式,計算余弦值,即可.

(Ⅰ)取的中點為，連結，.

由已知得，為等邊三角形，.

∵，，

∴，

∴，∴.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵為的中點，為的中點，∴∥.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵，∴平面∥平面.

∵平面，∴∥平面.

(Ⅱ)連結，交于點，連結，由對稱性知，為的中點，且，.

∵平面平面，，

∴平面，，.

以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.

則(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).

易知平面的一個法向量為.

設平面的法向量為，

則，，∴，

∵，，∴.

令，得，∴，

∴.

設二面角的大小為，則.