Question

【題目】已知橢圓 ，直線不過原點O且不平行于坐標軸， 與有兩

個交點A、B，線段AB的中點為M.

（1）若，點K在橢圓上， 、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；

（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（3）若過點，射線OM與交于點P，四邊形能否為平行四邊形？

若能，求此時的斜率；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析(3) 當的斜率為或時，四邊形為平行四邊形

【解析】試題分析： 將代入，求出焦點坐標，設，給出的表達式，消元求出范圍

聯立直線方程和橢圓方程化簡得到，求出， 的值，求出對應的直線斜率即可得到結論

四邊形為平行四邊形，當且僅當線段與線段互相平分，即，建立方程關系即可得到結論

解析：（1）橢圓，兩個焦點、，設

所以

由于，所以，

由橢圓性質可知，所以

（2）設直線（），， ， ，

所以為方程的兩根，化簡得，

所以， .

，所以直線的斜率與的斜率的乘積等于為定值.

（3）∵直線過點，∴ 不過原點且與有兩個交點的充要條件是， ．

設 設直線（），即.

由（2）的結論可知，代入橢圓方程得

由（2）的過程得中點，

若四邊形為平行四邊形，那么M也是OP的中點，所以，

得，解得

所以當的斜率為或時，四邊形為平行四邊形．