Question

（1）已知點B（6，0）和C（-6，0），過點B的直線l與過點C的直線m相交于點A，設直線l的斜率為k₁，直線m的斜率為k₂，如果k1•k2=-

4

9

，求點A的軌跡．
（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在△ABC中，∠A的外角平分線AD與邊BC的延長線相交于點D，則

BD

DC

=

AB

AC

．

Answer 1

（1）設A點坐標為（x，y），可得直線的斜率為k₁=

y

x-6

，
直線m的斜率為k₂=

y

x+6

，
結合題意可得

y

x-6

•

y

x+6

=-

4

9

，整理得

x2

36

+

y2

16

=1(x≠±6)
所以點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓（除長軸端點除外）．
（2）設∠CAD=∠DAE=β，
在△ACD中，由正弦定理得

DC

sinβ

=

AC

sin∠D

…①，
在△ABD中，由正弦定理得

BD

sin∠BAD

=

AB

sin∠D

，即

BD

sin∠β

=

AB

sin∠D

…②①②兩式相除，可得

BD

DC

=

AB

AC

，結論成立．