Question

【題目】如圖， 是圓柱的母線， 是的直徑， 是底面圓周上異于的任意一點， ， .

（1）求證：

（2）當三棱錐的體積最大時，求與平面所成角的大小；

（3）上是否存在一點，使二面角的平面角為45°？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）45°；（3）存在這樣的點且，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）平面平面， ，所以平面， ；（2）時，三棱錐體積的最大， 與平面所成角度為45°；（3）存在這樣的點且。

試題解析：

（1）∵平面， 平面

∴，又，

∴平面

又∵平面，

∴平面平面，

而平面平面，

∴平面，而平面，

∴

（2）設，在中，

∵平面，

∴是三棱錐的高

因此三棱錐的體積為

∵， ，

∴當，即時，三棱錐體積的最大值為

此時為等腰直角三角形，

∴與平面所成角度為45°

（3）存在這樣的點且，理由如下：

記的中點為，連接，

∵為等腰直角三角形

∴，由（1）知，

∴平面，

又平面，∴

∴是二面角的平面角，即

為等腰直角三角形， ，

∴

在中，

在和中，可解得，