Question

【題目】已知函數的最小值為，其中.

(1)求的值；

(2)若對任意的，有成立，求實數的范圍；

(3)證明：

Answer 1

【答案】(1)a=1；(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析; （1）對 進行求導，已知最小值為0，可得極小值也為0，得 ，從而求出的值；
（2）由題意任意的 ，有 成立，可以令 求出 的最大值小于0即可，可以利用導數研究的最值；

(3)由(2)知：令得：

令得: ＜ ,累加即可的證

試題解析;(1)函數的定義域為.

由得： ＞ 又由得：

∴在單調遞減，在單調遞增

∴

(2)設 ，則在恒成立 (*)

注意到

＞0 ……5分

又

①當＜0 ＜)時，由得.

∵在單減， 單增，這與(*)式矛盾；

②當時

∵在恒成立 ∴符合(*)

∴

(3)由(2)知：令得：

令得: ＜

當i=1時， ＜2；

當時， ＜

從而＜＜2.