Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)， 為傾斜角），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和參數(shù)方程；

（Ⅱ）設(shè)與曲線交于， 兩點(diǎn)，求線段的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,（為參數(shù)）; （Ⅱ）.

【解析】試題分析:(1)根據(jù),將曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程,進(jìn)而寫出圓的參數(shù)方程;(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線C中,整理并寫出韋達(dá)定理,根據(jù)t的幾何意義以及弦長公式表示出線段,根據(jù)三角函數(shù)的有界性求出取值范圍.

試題解析:（Ⅰ）因為曲線的極坐標(biāo)方程為，

所以曲線的普通方程為，即，

所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（Ⅱ）把代入代入，

并整理得，

設(shè)， 對應(yīng)的參數(shù)分別為， ，所以， ，

所以

，

設(shè)， ，∴，

∵，∴，∴，∴的取值范圍為．

點(diǎn)睛:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度單位.設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)為(x,y),極坐標(biāo)是,則它們的關(guān)系是： .直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是:t的絕對值等于直線上的動點(diǎn)M到定點(diǎn)P的距離.