Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，則關(guān)于函數(shù)F（x）=f（f（x））的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，正確的結(jié)論是 ． （寫(xiě)出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）
①k=0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)．②k＜0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)．
③k＞0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有3個(gè)零點(diǎn)．④k＞0時(shí)，F(xiàn)（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：
①當(dāng)k=0時(shí)，f（x）= ，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=1，則f（f（x））=f（1）= =0，
此時(shí)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；
②當(dāng)k＜0時(shí)，（Ⅰ）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=kx+1≥1，
此時(shí)f（f（x））=f（kx+1）= ，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x≤1時(shí)， ，此時(shí)
f（f（x））=f（ ）= ，令f（f（x））=0，可得：x= ，滿足；
（Ⅲ）當(dāng)x＞1時(shí)， ，此時(shí)f（f（x））=f（ ）=k +1＞0，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)．
綜上可得，當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)有兩零點(diǎn)，故②正確；
③當(dāng)k＞0時(shí)，（Ⅰ）當(dāng)x≤ 時(shí)，kx+1≤0，此時(shí)f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得： ，滿足；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，kx+1＞0，此時(shí)f（f（x））=f（kx+1）= ，令f（f（x））=0，可得：x=0，滿足；
（Ⅲ）當(dāng)0＜x≤1時(shí)， ，此時(shí)f（f（x））=f（ ）= ，令f（f（x））=0，可得：x= ，滿足；
（Ⅳ）當(dāng)x＞1時(shí)， ，此時(shí)f（f（x））=f（ ）=k +1，令f（f（x））=0得：x= ＞1，滿足；
綜上可得：當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)．故③錯(cuò)誤，④正確．
所以答案是：②④．