Question

【題目】已知函數 .

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）設，證明：當時， ；

（Ⅲ）設是的兩個零點，證明 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）當時，；（Ⅲ）證明過程見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，并判斷導數的符號，分別討論的取值，確定函數的單調區間．
（Ⅱ）構造函數，利用導數求函數當時的最大值小于零即可．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ，從而，于是，由（Ⅰ）知， .

試題解析：（Ⅰ）的定義域為 ，

求導數，得 ，

若 ，則，此時在上單調遞增，

若 ，則由得，當時， ，當時， ，

此時在上單調遞減，在上單調遞增.

（Ⅱ）令，則

.

求導數，得 ，

當時，，在上是減函數.

而， ，

故當時，

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當時，函數至多有一個零點，

故，從而的最小值為，且，

不妨設，則， ，

由（Ⅱ）得 ，

從而，于是，

由（Ⅰ）知， .

點晴:本題考查函數導數的單調性.不等式比較大小，函數的零點問題：在（Ⅰ）中通過求導，并判斷導數的符號，分別討論的取值，確定函數的單調區間．（Ⅱ）通過構造函數，把不等式證明問題轉化為函數求最值問題，求函數當時的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）問的結論.