Question

【題目】已知橢圓的焦點坐標為F1（﹣1，0），F2（1，0），過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點，且|PQ|=3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，則△F1MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程為 =1（a＞b＞0），由焦點坐標可得c=1

由|PQ|=3，可得 =3，

又a2﹣b2=1，解得a=2，b= ，

故橢圓方程為 =1

（2）解：設M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，設△F1MN的內切圓的徑R，

則△F1MN的周長=4a=8， （|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R

因此 最大，R就最大，

由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，

由 得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

得 ， ，

則 = ，

令t= ，則t≥1，

則 ，

令f（t）=3t+ ，則f′（t）=3﹣ ，

當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，

即當t=1，m=0時，S△F1MN≤3，

S△F1MN=4R，∴Rmax= ，這時所求內切圓面積的最大值為 π．

故直線l：x=1，△F1MN內切圓面積的最大值為 π

【解析】（1）設橢圓方程，由焦點坐標可得c=1，由|PQ|=3，可得 =3，又a2﹣b2=1，由此可求橢圓方程；（2）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），不妨y1＞0，y2＜0，設△F1MN的內切圓的徑R，則△F1MN的周長=4a=8， （|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R，因此 最大，R就最大．設直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯立，從而可表示△F1MN的面積，利用換元法，借助于導數，即可求得結論．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．