Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，，，，，設的外接圓圓心為.

（1）若與直線相切，求實數的值；

（2）設點在上，使的面積等于12的點有且只有三個，試問這樣的是否存在？若存在求出的標準方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】解：（1）直線方程為，圓心，半徑.

由題意得，解得……6分

（2）∵，

∴當面積為時，點到直線的距離為，

又圓心E到直線CD距離為(定值)，要使的面積等于12的點有且只有三個，只須圓E半徑，解得，

此時，⊙E的標準方程為14分

【解析】

試題（1）先求出圓心坐標和半徑，由圓心到切線的距離等于半徑，解出實數a的值；（2）要使 △PCD的面積等于12的點P有且只有3個，則⊙E上到直線CD的距離為，圓心E到直線CD的距離為2，由點到直線的距離公式列出方程，解得a值，代入圓的標準方程即可求得.

試題解析：解：（1）直線CD的方程為y=x+4,圓E的圓心為E(,),半徑為r=a.

由圓E與直線CD相切，得=a,

解得a="4."

（2）因為|CD|==4,

所以當△PCD面積為12時,點P到直線CD的距離為3.

又圓心E到直線CD距離為2(定值),

要使△PCD的面積等于12的點P有且只有3個,需圓E的半徑=5,

解得a="10,"

此時,圓E的標準方程為(x-5)2+(y-5)2="50."