Question

【題目】已知圓O：x2+y2=4，點F（ ，0），以線段MF為直徑的圓內切于圓O，記點M的軌跡為C
（1）求曲線C的方程；
（2）若過F的直線l與曲線C交于A，B兩點，問：在x軸上是否存在點N，使得 為定值？若存在，求出點N坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設FM的中點為Q，切點為G，連OQ，QG，

則|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F關于y軸的對稱點F′，連F′M，

故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．

點M的軌跡是以F′，F為焦點，長軸長為4的橢圓．

其中，a=2，c=，b=1，則曲線C的方程為 +y2=1

（2）解：當直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x﹣ ），

A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 ，得 ．

則△＞0， ，

若存在定點N（m，0）滿足條件，

則有 =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2

=x1x2+

=

= = ．

如果要上式為定值，則必須有 ，解得m= ，

此時 = ．

驗證當直線l斜率不存在時，也符合．

故存在點N（ ，0）滿足 為定值．

【解析】（1）設FM的中點為Q，切點為G，連OQ，QG，通過|OQ|+|QG|=|OG|=2，推出|F′M|+|MF|=4．說明點M的軌跡是以F′，F為焦點，長軸長為4的橢圓．然后求解曲線C的方程；（2）當直線l的斜率存在時，設其方程為y=k（x﹣ ），聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系得到A，B的橫坐標的和與積，代入 ，由 為定值求得m值，驗證斜率不存在時適合得答案．