Question

【題目】已知函數，在區間內任取兩個實數，，且，若不等式恒成立，則實數的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分析：首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后，得到函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率大于1，從而得到f′（x）=＞1 在（1，2）內恒成立．分離參數后，轉化成 a＞2x2+3x+1在（1，2）內恒成立．從而求解得到a的取值范圍．

詳解：∵的幾何意義為：

表示點（p+1，f（p+1）） 與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，

∵實數p，q在區間（0，1）內，故p+1 和q+1在區間（1，2）內．

不等式＞1恒成立，

∴函數圖象上在區間（1，2）內任意兩點連線的斜率大于1，

故函數的導數大于1在（1，2）內恒成立．

由函數的定義域知，x＞﹣1，

∴f′（x）=＞1 在（1，2）內恒成立．

即 a＞2x2+3x+1在（1，2）內恒成立．

由于二次函數y=2x2+3x+1在[1，2]上是單調增函數，

故 x=2時，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值為15，

∴a≥15

∴a∈[15，+∞）．

故選：A．