Question

【題目】已知函數，其中．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線方程為，其中是自然對數的底數，求的值：

（Ⅱ）若函數是內的減函數，求正數的取值范圍；

（Ⅲ）若方程無實數根，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）或．

【解析】

（Ⅰ）先對函數求導，然后根據導數的幾何意義及已知切線方程即可求解；

（Ⅱ）結合導數與單調性的關系可轉化為在內恒成立，結合函數的性質可求；

（Ⅲ）結合導數及函數的性質，進行合理的轉化后結合導數可求．

解：（Ⅰ）已知，

，

由曲線在點處的切線方程為，

可得，得，

則，，

解得：.

（Ⅱ）若函數是內的減函數，

則在內恒成立，

令，則，

①時，，在上單調遞增，

所以，

②若，當，，單調遞增，

所以，

③時，時，，單調遞減，

，

綜上，時，滿足題意；

（Ⅲ）由可得，

若，則是方程的根，故，

若，則無實根，

若，令，則，

方程可化為即，

令，則，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以，

若沒有實根，則，

解得：或，

綜上：或.