【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）用
表示
中的最大值，設函數
，討論
零點的個數.
【答案】(1) 當
時，
在
上單調遞增；當
時，在區間
上單調遞減，在
單調遞增；(2) 當
時，
在
上無零點；當
或
時，在上有一個零點；當
時，在上有兩個零點.
【解析】
（1）對參數
進行分類討論，即可由導數的正負判斷函數的單調性；
（2）根據的定義，利用導數分區間討論在
上的零點分布情況.
（1）
，故可得
，
當時，
在上恒成立，故此時在上單調遞增；
當時，令
，解得
，
故容易得在區間上單調遞減，在單調遞增.
綜上所述：當時，在上單調遞增；
當時，在區間上單調遞減，在單調遞增.
（2）①當
時，
，
，
顯然此時沒有零點；
②當
時，
，
若
，
，故是的零點；
若
，
，故不是的零點；
③當
時，
，所以在
上的零點個數，
即為在上的零點個數.
在上的零點個數，等價于
在上實數根的個數.
令
，故可得
，
故容易得
在區間
單調遞減，在
單調遞增.
且
.
故當或
時，在沒有零點；
當或
，在有一個零點；
當
時，在有
個零點.
綜上所述：當時，在上無零點；當或時，在上有一個零點；當時，在上有兩個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，右焦點為
，左頂點為A，右頂點B在直線
上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓C上異于A，B的點，直線
交直線
于點
，當點
運動時，判斷以
為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，橢圓
以
的長軸為短軸，且兩個橢圓的離心率相同，設O為坐標原點，點A、B分別在橢圓、上，若
，則直線AB的斜率k為（ ）.
A.1B.-1C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其中
．
（Ⅰ）若曲線
在點
處的切線方程為
，其中
是自然對數的底數，求
的值：
（Ⅱ）若函數
是
內的減函數，求正數的取值范圍；
（Ⅲ）若方程
無實數根，求實數的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的圖象在
處的切線方程為
.
（1）討論函數
的單調性.
（2）是否存在正實數
，使得函數
的定義域為
時，值域也為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線
的焦點為
，準線為
，
為拋物線
過焦點的弦，已知以為直徑的圓與相切于點
.
（1）求
的值及圓的方程；
（2）設
為上任意一點，過點作的切線，切點為
，證明：
.
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