Question

在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C:(>0),已知過點(diǎn)P(-2,-4)的直線l的參數(shù)方程為:（t為參數(shù)）,直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn)．
(1)寫出曲線C和直線l的普通方程；
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求的值．

Answer 1

(1) 曲線C:, 直線的普通方程為；(2) ．

試題分析：(1) 由代入可得曲線C普通方程，直線l參數(shù)方程，兩式相減消去參數(shù)，可得直線l的普通方程；(2)設(shè)兩交點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁,t_2，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程可得，韋達(dá)定理求出，又|MN|²=|PM|·|PN|得(t₁-t₂)²=(t₁+t₂)²-4t₁·t₂=t₁·t₂,解得．
解：(1)由得曲線C: ,消去參數(shù)t可求得,
直線l的普通方程為．                                     4分
(2)直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),
代入,得,
設(shè)兩交點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁,t₂,
則有,．
因?yàn)閨MN|²=|PM|·|PN|,所以(t₁-t₂)²=(t₁+t₂)²-4t₁·t₂=t₁·t₂,
解得．                                     12分