Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線過點(diǎn)且與直線垂直，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，直線的斜率分別為，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

（Ⅰ）由已知設(shè)直線的方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得.

所以直線的方程為.

令，解得，所以，故.

因?yàn)?/span>，

由橢圓的定義可得，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

所以，，

所以軌跡的方程為.

（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，解得.

不妨設(shè)，，則.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由，消去，得，

依題意，直線與軌跡必相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，

則，，

又，，

所以

.

綜上可得，為定值.