Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3，且an+1﹣3an=3n，（n∈N*），數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=3﹣nan．

（1）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，求滿(mǎn)足不等式的所有正整數(shù)n的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2,3,4

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題干條件將表達(dá)式變形為：3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得，從而證得式子是等差數(shù)列；（2）根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論得到數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而求和，解不等式即可。

解析：

（1）證明：由bn=3﹣nan得an=3nbn，則an+1=3n+1bn+1．

代入an+1﹣3an=3n中，得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得。

所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．

（2）解：因?yàn)閿?shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=3﹣1a1=1，公差為等差數(shù)列，

則則an=3nbn=（n+2）×3n﹣1．從而有。

故

則，由 得.

即3＜3n＜127，得1＜n≤4．

故滿(mǎn)足不等式的所有正整數(shù)n的值為2，3，4．