Question

【題目】如圖，直線l：y＝x＋b (b>0)，拋物線C：y2＝2px(p>0)，已知點P(2，2)在拋物線C上，且拋物線C上的點到直線l的距離的最小值為.

(1)求直線l及拋物線C的方程；

(2)過點Q(2,1)的任一直線(不經過點P)與拋物線C交于A，B兩點，直線AB與直線l相交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在實數λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線l的方程為y＝x＋2，拋物線C的方程為y2＝2x.；（2）存在，且2.

【解析】試題分析：(1)設出直線方程，聯立直線和拋物線的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系和點到直線的距離公式進行求解；（2）設出直線方程，聯立直線和拋物線的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系得到等量關系，再聯立兩直線方程得到另一等量關系，兩者結合即可證明.

試題解析：(1)∵點P(2,2)在拋物線C上，∴p＝1.

設與直線l平行且與拋物線C相切的直線l′的方程為y＝x＋m，

由

得x2＋(2m－2)x＋m2＝0，Δ＝(2m－2)2－4m2＝4－8m，

由Δ＝0，得m＝，

則直線l′的方程為y＝x＋.

兩直線l，l′間的距離即為拋物線C上的點到直線l的最短距離，

有＝，

解得b＝2或b＝－1(舍去)．

∴直線l的方程為y＝x＋2，拋物線C的方程為y2＝2x.

(2)∵直線AB的斜率存在，且k≠0，

∴設直線AB的方程為y－1＝k(x－2)(k≠0)，

即y＝kx－2k＋1.

聯立

得ky2－2y－4k＋2＝0(k≠0)，

設點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則y1＋y2＝ (k≠0)，y1y2＝ (k≠0)．

∵k1＝＝＝，k2＝，

∴k1＋k2＝＋

＝

＝＝ (k≠0)．

聯立

得xM＝，yM＝，

∴k3＝＝，

∴k1＋k2＝2k3.

∴存在實數λ，使得k1＋k2＝λk3成立，且λ＝2.