Question

【題目】如圖，在正方體中，點(diǎn)是底面的中心，是線段的上一點(diǎn)。

（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）能否存在點(diǎn)使得平面平面，若能，請指出點(diǎn)的位置關(guān)系，并加以證明；若不能，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系得到直線的方向向量和面的法向量，再由向量的夾角公式得到結(jié)果；（2）建立坐標(biāo)系得到兩個(gè)面的法向量，再由法向量互相垂直得到結(jié)果.

不妨設(shè)正方體的棱長為2，以，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以，，.

設(shè)是平面的法向量，則，

即.

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為.

所以 .

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面平面，設(shè).

顯然，.

設(shè)是平面的法向量，則，即，

取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以，.

設(shè)是平面的法向量，則，即.

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，即，，解得.

所以的值為2.即當(dāng)時(shí)，平面平面.