Question

【題目】已知：以點C（t， ）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點．
（1）當t=2時，求圓C的方程；
（2）求證：△OAB的面積為定值；
（3）設直線y=﹣2x+4與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：當t=2時，圓心為C（2，1），

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；

（2）證明：由題設知，圓C的方程為（x﹣t）2+（y﹣ ）2=t2+ ，

化簡得x2﹣2tx+y2﹣ y=0．

當y=0時，x=0或2t，則A（2t，0）；

當x=0時，y=0或 ，則B（0， ），

∴S△AOB= OAOB= |2t|| |=4為定值．

（3）解：∵OM=ON，則原點O在MN的中垂線上，設MN的中點為H，則CH⊥MN，

∴C、H、O三點共線，KMN=﹣2，則直線OC的斜率k= ，

∴t=2或t=﹣2．

∴圓心為C（2，1）或C（﹣2，﹣1），

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5或（x+2）2+（y+1）2=5．

由于當圓方程為（x+2）2+（y+1）2=5時，直線2x+y﹣4=0到圓心的距離d＞r，

此時不滿足直線與圓相交，故舍去，

∴所求的圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

【解析】（1）當t=2時，圓心為C（2，1），即可得出圓C的方程；（2）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、B的坐標，表示出面積即可；（3）設MN的中點為H，則CH⊥MN，根據C、H、O三點共線，KMN=﹣2，由直線OC的斜率k= ，求得t的值，可得所求的圓C的方程．