Question

探究函數f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并確定取得最小值時x的值．
列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）上遞減；
函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間

（2，+∞）

上遞增．
當x=

2

時，y_最小=

4

．
證明：函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在區間（0，2）遞減．
思考：
（1）函數f(x)=x+

4

x

(x＜0)時，有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）
（2）函數f(x)=x+

k

x

(x＞0，k＞0)時有最值嗎？是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

Answer 1

分析：由表格可知函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在（2，+∞）上遞增；當x=2時，y_最小=4，證明單調性可用定義法；思考題兩步可由圖象結合基本不等式的結論可得答案．

解答：解：由表格可知函數f(x)=x+

4

x

(x＞0)在（2，+∞）上遞增；當x=2時，y_最小=4
證明：設x₁，x₂是區間，（0，2）上的任意兩個數，且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，∴y₁-y₂＞0
∴函數在（0，2）上為減函數．
思考：（1）y=x+

4

x

，x∈(-∞，0)時，x=-2時，y最大=-4

（2）函數f(x)=x+

k

x

(x＞0，k＞0)時有最小值，此時x=

k

，y_最小=2

k

點評：本題為函數的單調性及最值得求解，觀察圖表結合基本不等式是解決問題的關鍵，屬中檔題．