Question

【題目】如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.

(1)求證：平面；

(2)在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)存在，2.

【解析】

（1）根據題意,建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標.得平面的法向量,求得與法向量的數量積,即可證明平面;

（2）假設存在點滿足題意,令表示出的坐標和點坐標.利用直線與平面所成角的正弦值為,可由向量的夾角運算求得的值,進而表示出求得即可.

（1）證明：設中點為.取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標系,如下圖所示:

則,,,,

,,

設平面的法向量為,

不妨設,

又,

.

,

又平面,

平面.

（2）設,,

,

,

又平面的一個法向量為,

,

,或,

當時,,,

當時,,,

綜上.