Question

已知點F是拋物線C：的焦點，S是拋物線C在第一象限內的點，且|SF|=.

（Ⅰ）求點S的坐標；
（Ⅱ）以S為圓心的動圓與軸分別交于兩點A、B，延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點；
①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；
②延長NM交軸于點E，若|EM|=|NE|，求cos∠MSN的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）①詳見解析，②

試題分析：（1）由拋物線定義等于點到準線的距離，可求點的橫坐標，代入拋物線方程求點的縱坐標；（2）由已知直線斜率互為相反數，可設其中一條斜率為，寫出直線方程并與拋物線聯立之得關于的二次方程（其中有一根為1），或的一元二次方程（其中有一根為1），再利用韋達定理并結合直線方程，求出點的坐標，然后用代替得點的坐標，代入斜率公式看是否定值即可；（3）依題意，利用向量式得三點坐標間的關系，從而求，進而可求直線的方程，再確定兩點坐標，在中利用余弦定理求.
試題解析：（1）設(＞0)，由已知得F，則|SF|=，∴=1，∴點S的坐標是(1,1)；
（2）①設直線SA的方程為
由得∴，∴.
由已知SA=SB，∴直線SB的斜率為，∴ ∴
②設E(t,0)，∵|EM|=|NE|，∴，
∴ ，則∴ ∴直線SA的方程為，則，同理 ,∴