Question

若函數f(x)對任意的實數x₁，x₂∈D，均有|f(x₂)－f(x₁)|≤|x₂－x₁|，則稱函數f(x)是區間D上的“平緩函數”．
(1)判斷g(x)＝sin x和h(x)＝x²－x是不是實數集R上的“平緩函數”，并說明理由；
(2)若數列{x_n}對所有的正整數n都有|x_n＋1－x_n|≤，設y_n＝sin x_n，求證：|y_n＋1－y₁|＜.

Answer 1

（1）不是（2）見解析

g(x)＝sin x是R上的“平緩函數”，但h(x)＝x²－x不是區間R上的“平緩函數”．設φ(x)＝x－sin x，則φ′(x)＝1－cos x≥0，則φ(x)＝x－sin x是實數集R上的增函數，
不妨設x₁＜x₂，則φ(x₁)＜φ(x₂)，即x₁－sin x₁＜x₂－sin x₂，
則sin x₂－sin x₁＜x₂－x₁.   ①
又y＝x＋sin x也是R上的增函數，則x₁＋sin x₁＜x₂＋sin x₂，
即sin x₂－sin x₁＞x₁－x₂，      ②
由①②得－(x₂－x₁)＜sin x₂－sin x₁＜x₂－x₁.
∴|sin x₂－sin x₁|＜|x₂－x₁|對x₁＜x₂都成立．
當x₁＞x₂時，同理有|sin x₂－sin x₁|＜|x₂－x₁|成立．
又當x₁＝x₂時，|sin x₂－sin x₁|＝|x₂－x₁|＝0，
∴對任意的實數x₁，x₂∈R，
均有|sin x₂－sin x₁|≤|x₂－x₁|.
∴g(x)＝sin x是R上的“平緩函數”．
∵|h(x₁)－h(x₂)|＝|(x₁－x₂)(x₁＋x₂－1)|，
取x₁＝3，x₂＝2，則|h(x₁)－h(x₂)|＝4＞|x₁－x₂|，
∴h(x)＝x²－x不是R上的“平緩函數”．
(2)證明　由(1)得g(x)＝sin x是R上的“平緩函數”．
則|sin x_n＋1－sin x_n|≤|x_n＋1－x_n|，
∴|y_n＋1－y_n|≤|x_n＋1－x_n|.
而|x_n＋1－x_n|≤，
∴|y_n＋1－y_n|≤＜＝.
∵|y_n＋1－y₁|＝|(y_n＋1－y_n)＋(y_n－y_n－1)＋(y_n－1－y_n－2)＋…＋(y₂－y₁)|，
∴|y_n＋1－y₁|≤|y_n＋1－y_n|＋|y_n－y_n－1|＋|y_n－1－y_n－2|＋…＋|y₂－y₁|.
∴|y_n＋1－y₁|≤
＝＜.